教学片段：

一．直观感知，激趣生疑。

师：在钉子板上围一围平面图形，想一想可以怎样求出它们的面积。

生：可以用面积计算公式。

生：可以用数格子的方法。

师：这些都是在钉子板上围出的图形，它们的面积可能会和什么有关？

生：跟边上的钉子数有关。

生：跟图形里面的钉子数有关。

师：究竟有没有关系，又有怎样的关系？你准备怎样研究？

生：从简单问题开始研究，先研究形内只有1枚钉子数的情况，再研究2.3.4枚的情况。

二．简单入手，探究多边形内有一枚钉子的情况。

师出示：一组钉子板上多边形。你还可以再画几个同类的多边形进行研究。

提问：每个多边形各有多少个面积单位？边上的钉子数各有多少枚？先数一数、算一算，把结果填入表中，再和同桌说说你的发现。

师过程中指导：既要数面积，还要数钉子数，所以同学们画简单一点的图形。

出示资源：校对结果你有什么发现？

生：多边形边上的钉子数越多，面积越大。

生：我发现形内只有一枚钉子时，多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半。

师：如果用S表示面积单位的个数，n表示多边形边上的钉子数，你能用字母表达式表示这一发现吗？动手写一写。

生：S= n÷2

三．运用结构，探究多边形内有多枚钉子的情况。

1.探究形内有2枚钉子的情况

师：：形内只有1枚钉子的情况已经研究了，往下我们应该研究？

要求：当形内有2枚钉子时会有怎样的规律呢？同学们也可以像刚才那样画一些形内只有2枚钉子的多边形，然后算一算，数一数，多边形有几个面积单位？多边形边上的钉子数有几枚？把结果填入表中，再与同桌说说你的发现，

并用字母表达式表达你的发现。

教师过程中指导：想一想跟刚才的规律会有关系吗？

师收资源全班交流。

师：如果用字母表达式来表示这一规律应该怎么写？板书： S= n÷2＋1

2.推想形内有2枚以上钉子的情况。

师：比较这两个规律，你觉得形内有3.4枚钉子时会有怎样的规律？如果你能直接推想出规律，那就写出你的猜想，然后举例验证，如果不能，那也像刚才那样先画出多边形，再数一数，算一算，看看有什么规律。

学生分工合作，推想规律。

生：S= n÷2＋2

生：S= n÷2＋3

师：当形内钉子数为10，S等于什么？

生：S= n÷2＋9

师：如果像这样推想下去，当形内钉子数为a时，S=？是否适合用于所有情况？

生：S= n÷2＋a-1

四．拓展延伸

生回顾研究过程。

师：这种推测到底对不对呢？课后我们去解决复杂图形验证一下，再举一些例子，数一数，算一算，是否成立。

教学评析：

这是一节探索规律的数学实践活动课，学生体验规律探究的过程，主动建构，大问题展开有层次，体现了浓浓的数学味。

一． 学生主动建构数学模型

本节课的重点不是最终的皮克定理，而是探索规律的一般过程和方法，积累数学活动的经验。钉子板上的钉子数究竟和平面图形的面积有没有关系，又有什么关系？学生从朦胧的直觉到通过动手操作，观察比较和分析思考，并发现在钉子板上围出的多边形面积的一些有趣规律，再试着用数学表达式表达出来。学生体验了当时皮克做研究的过程，数学知识鲜活起来了。王老师带领学生从简单的平面图形入手，在活动中引发对形内钉子数，形外钉子数和面积三个量关系的猜想，激发学生主动探究的热情。接着，探究形内只有一枚钉子时，会有怎样的规律，最后学生自然而然地去探究验证形内有2枚或更多枚钉子时，这个规律是否成立，字母表达式可以怎么写。而第二层次是本节课的难点，具有挑战性，因为有了前面部分方法的引领，很多孩子都兴趣盎然，学会了在观察中思考，比较分析，俨然都成了一个个小数学家。学生主动参与规律的探究，经历了发现规律，提出猜想，验证猜想，得出结论的完整过程，这样的体验比得到答案更加宝贵，这也是孩子们在生活中必需具备的发现问题，解决问题的能力。

二． 大问题留下充足的思维空间

大问题相对于细碎的问题更具有开放性和挑战性，需要学生调用已有知识和解决问题的路径，需要思考的时间和思维水平。本节课在“大问题”的教学中，“大而不乱”，“有的放矢”。例如：导入部分，老师提问这些图形的面积可能会和什么有关？一个大问题，直切主题，准确精当，引起学生有向的猜测。接着教师再问“你准备怎样研究？”，学生需要调用之前数学规律研究的一般方法，从简单图形切入，接下去的自主探究，都是围绕“画一画，算一算，填一填，观察数据，你有什么发现，数学式应该怎样表达”展开。最后老师说“这种推测到底对不对呢？课后我们去解决复杂图形验证一下，再举一些例子，数一数，算一算是否成立。”，老师并没有确定规律，而是让孩子带着问题离开课堂，给孩子继续探索的空间，给孩子们播下了理性的数学种子。